Нахождение площади простого многоугольника
Пусть дан простой многоугольник (без самопересечений, но не обязательно выпуклый), заданный координатами вершин в порядке обхода по или против часовой стрелки. Требуется найти его площадь.
Можно перебрать все рёбра и сложить площади трапеций, ограниченных каждым ребром. Площадь нужно брать со знаком (именно благодаря знаку вся «лишняя» площадь сократится).
Формула для одного ребра :
Код:
Альтернатива: формула шнурков
Более популярная формула для площади многоугольника:
где индекс берётся по модулю (то есть последняя вершина соединяется с первой). Но по сути это то же самое, только записано немного иначе.
Можно поступить другим образом. Выберем произвольную точку , переберём все рёбра многоугольника, прибавляя к ответу ориентированную площадь треугольника, образованного ребром и точкой (см. «Ориентированная площадь треугольника»). Благодаря знаку вся лишняя площадь сократится, и останется только ответ.
Этот способ хорош тем, что его проще обобщить на более сложные случаи (например, когда некоторые стороны — не прямые, а дуги окружности).
double polygon_area(const vector<pair<double, double>>& poly) {
int n = poly.size();
double sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
double x1 = poly[i].first;
double y1 = poly[i].second;
double x2 = poly[(i + 1) % n].first;
double y2 = poly[(i + 1) % n].second;
sum += (x1 - x2) * (y1 + y2);
}
return fabs(sum) / 2.0;
}